Question

已知函數在x=1處取得極值2，
(Ⅰ)求函數f(x)的表達式；
(Ⅱ)當m滿足什么條件時，函數f(x)在區間(m，2m+1)上單調遞增？
(Ⅲ)若P(x₀，y₀)為圖象上任意一點，直線l與的圖象切于點P，求直線l的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)因為，
而函數在x=1處取得極值2，
所以，即，解得，
所以即為所求．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
令f′(x)=0，得x₁=-1，x₂=1，
則f(x)的增減性如下表：

可知，f(x)的單調增區間是[-1，1]，
所以，，
所以當m∈(-1，0]時，函數f(x)在區間(m，2m+1)上單調遞增．
(Ⅲ)由條件知，過f(x)的圖象上一點P的切線l的斜率k為：
，
令，則t∈(0，1]，
此時，，
根據二次函數的圖象性質知：
當時，；當t=1時，k_max=4；
所以，直線l的斜率k的取值范圍是。