Question

設函數，
（Ⅰ）若f（x）在x=1處有極值，求a；
（Ⅱ）若f（x）在[2，3]上為增函數，求a的取值范圍．
（Ⅲ）當a=-1時，函數f（x）圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，由已知f'（1）=3a-3=0，從而求得a=1．再經驗證得a=1符合題意；
（Ⅱ）對x∈[2，3]恒成立，分離參數得，對x∈[2，3]恒成立，可求的最大值為，從而得解
（Ⅲ）當a=-1，假設圖象上存在兩點、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得過此兩點處的切線互相垂直，
則由知兩點處的切線斜率分別為，由于x＞0時， 故k₁•k₂＞0，從而矛盾，故得解．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定義域為（0，+∞），
又，
 由已知f'（1）=3a-3=0，
∴a=1．經驗證得a=1符合題意----4分
  （Ⅱ）
對x∈[2，3]恒成立，
∴，
對x∈[2，3]恒成立，
因為x∈[2，3]，所以的最大值為，
所以；-----------------9分
（Ⅲ）當a=-1，假設圖象上存在兩點、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得過此兩點處的切線互相垂直，
則由知兩點處的切線斜率分別為，，
則k₁•k₂=-1＜0（*）      
∵當x＞0時， 
故k₁•k₂＞0與（*）式矛盾，故假設不成立，
∴當a=-1
時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立； …13分
點評：本題以函數為載體，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查存在性問題，關鍵是正確運用導函數．