Question

【題目】對于兩個定義域相同的函數、，若存在實數，，使則稱函數是由“基函數”生成的.

（1）若和生成一個偶函數，求的值；

（2）若是由和生成，其中，.且求的取值范圍；

（3）利用“基函數，”生成一個函數，使得滿足：

①是偶函數，②有最小值，求的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的取值范圍為；

（3）

【解析】

（1）先用待定系數法表示出偶函數，再根據其是偶函數這一性質得到引入參數方程，求出參數的值，即得函數的解析式，代入自變量求值即可.

（2）設，展開后整理，利用待定系數法找到的關系，由系數相等把用表示，然后結合的范圍求解的取值范圍.

（3）設，是偶函數，則，可得與的關系，有最小值則必有，且有，求出和的值，可得解析式.

（1）和生成一個偶函數，

則，

，

，

故得，.

（2）設，

，，

則，

所以，

，.且，

的取值范圍為.

（3）設，

是偶函數，

，

即，

，可得：，

則

，

有最小值，則必有，且有，

，

故得.