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【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點為，點在橢圓上，且點關于原點對稱，直線的斜率的乘積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經過點，且與橢圓交于不同的兩點，若，判斷直線的斜率是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）；（2）直線的斜率為定值

【解析】

（1）利用斜率乘積為，，可構造出方程組，求解得到和，從而可得橢圓標準方程；（2）聯立直線與橢圓方程，可得關于的一元二次方程；利用判別式大于零可求得的取值范圍；利用韋達定理表示出和；根據，可得到；利用向量數量積坐標運算，代入韋達定理整理得到，解方程可求得結果.

（1）由題意知：，又，

可得：，，

橢圓的方程為：

（2）設直線的方程為：

將其代入，整理可得：

則，得：

設，

則，

又，且

又，

所以

又，

化簡得：，解得：

直線的斜率為定值

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，制作一個蛋糕成本3元，且以8元的價格出售，若當天賣不完，剩下的則無償捐獻給飼料加工廠。根據以往100天的資料統計，得到如下需求量表。該蛋糕店一天制作了這款蛋糕個，以（單位：個，，）表示當天的市場需求量，（單位：元）表示當天出售這款蛋糕獲得的利潤.

需求量/個

天數

15

25

30

20

10

（1）當時，若時獲得的利潤為，時獲得的利潤為，試比較和的大�。�

（2）當時，根據上表，從利潤不少于570元的天數中，按需求量分層抽樣抽取6天.

（i）求此時利潤關于市場需求量的函數解析式，并求這6天中利潤為650元的天數；

（ii）再從這6天中抽取3天做進一步分析，設這3天中利潤為650元的天數為，求隨機變量的分布列及數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】中國大學先修課程，是在高中開設的具有大學水平的課程，旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練，為大學學習乃至未來的職業生涯做好準備.某高中開設大學先修課程已有兩年，兩年共招收學生2000人，其中有300人參與學習先修課程，兩年全校共有優等生200人，學習先修課程的優等生有60人.這兩年學習先修課程的學生都參加了考試，并且都參加了某高校的自主招生考試（滿分100分），結果如下表所示：

分數

人數

20

55

105

70

50

參加自主招生獲得通過的概率

0.9

0.8

0.6

0.5

0.4

（1）填寫列聯表，并畫出列聯表的等高條形圖，并通過圖形判斷學習先修課程與優等生是否有關系，根據列聯表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優等生有關系？

優等生

非優等生

總計

學習大學先修課程

沒有學習大學先修課程

總計

（2）已知今年有150名學生報名學習大學先修課程，以前兩年參加大學先修課程學習成績的頻率作為今年參加大學先修課程學習成績的概率.

①在今年參與大學先修課程的學生中任取一人，求他獲得某高校自主招生通過的概率；

②設今年全校參加大學先修課程的學生獲得某高校自主招生通過的人數為，求.

參考數據：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

參考公式：，其中.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，和所在平面互相垂直，且，，，分別為，的中點.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】

如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）證明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修：坐標系與參數方程選講.

在平面直角坐標系中，曲線（為參數，實數），曲線

（為參數，實數）. 在以為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與交于兩點，與交于兩點. 當時， ；當時， .

（1）求的值； （2）求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2015年“雙十一”當天，甲、乙兩大電商進行了打折促銷活動，某公司分別調查了當天在甲、乙電商購物的1000名消費者的消費金額，得到了消費金額的頻數分布表如下：

甲電商：

消費金額（單位：千元）

[0，1）

[1，2）

[2，3）

[3，4）

[4，5]

頻數

50

200

350

300

100

乙電商：

消費金額（單位：千元）

[0，1）

[1，2）

[2，3）

[3，4）

[4，5]

頻數

250

300

150

100

200

（Ⅰ）根據頻數分布表，完成下列頻率分布直方圖，并根據頻率分布直方圖比較消費者在甲、乙電商消費金額的中位數的大小以及方差的大�。ㄆ渲蟹讲畲笮〗o出判斷即可，不必說明理由）；

（Ⅱ）（�。└鶕鲜鰯祿烙嫛半p十一”當天在甲電商購物的大量的消費者中，消費金額小于3千元的概率；

（ⅱ）現從“雙十一”當天在甲電商購物的大量的消費者中任意調查5位，記消費金額小于3千元的人數為X，試求出X的期望和方差．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：過點，離心率為.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，記△F1MN的內切圓的面積為S，求當S取最大值時直線l的方程，并求出最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直線與拋物線（常數）相交于不同的兩點、，且（為定值），線段的中點為，與直線平行的切線的切點為（不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點為切點）．

（1）用、表示出點、點的坐標，并證明垂直于軸；

（2）求的面積，證明的面積與、無關，只與有關；

（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個小題后，小張連、，再作與、平行的切線，切點分別為、，小張馬上寫出了、的面積，由此小張求出了直線與拋物線圍成的面積，你認為小張能做到嗎？請你說出理由．

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