Question

設數列{a_n}是公差為d的等差數列，其前n項和為S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（�。┣螽攏∈N^*時，

Sn+64

n

的最小值；
（ⅱ）當n∈N^*時，求證：

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

；
（2）是否存在實數a₁，使得對任意正整數n，關于m的不等式a_m≥n的最小正整數解為3n-2？若存在，則求a₁的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

（1）（ⅰ）∵a₁=1，d=2，
∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n2，

Sn+64

n

=n+

64

n

≥2

n× 64 n

=16，
當且僅當n=

64

n

，即n=8時，上式取等號．故

Sn+64

n

的最小值是16．（4分）
（ⅱ）證明：由（�。┲猄_n=n²，當n∈N^*時，

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，（6分）

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

(

1

12

-

1

32

)+

1

4

(

1

22

-

1

42

)+…+

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)-

1

4

[

1

32

+

1

52

+…+

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

]=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]，（8分）
∵

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

＞0，∴

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

1

4

(

1

12

+

1

22

)＜

5

16

．（9分）
（2）假設對?n∈N^*，關于m的不等式a_m=a₁+（m-1）d≥n的最小正整數解為c_n=3n-2，
當n=1時，a₁+（c₁-1）d=a₁≥1；（10分）
當n≥2時，恒有

a1+(cn-1)d≥n a1+(cn-2)d＜n

，即

(3d-1)n+(a1-3d)≥0 (3d-1)n+(a1-4d)＜0

，
從而

3d-1≥0 (3d-1)×2+(a1-3d)≥0 3d-1≤0 (3d-1)×2+(a1-4d)＜0

?d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

．（12分）
當d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

時，對?n∈N^*，且n≥2時，當正整數m＜c_n時，
有a1+

m-1

3

＜a1+

cn-1

3

且a1+

cn-1

3

＞n．（13分）
所以存在這樣的實數a₁符合題意且a₁的取值范圍是[1，

4

3

)．