Question

某工藝品廠為一次大型博覽會生產甲、乙兩種型號的紀念品，所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬，已知生產一套甲型紀念品需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產一套乙型紀念品需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒，若甲型紀念品每套可獲利700元，乙型紀念品每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒，則該廠生產甲、乙兩種紀念品各多少套才能使該廠月利潤最大？（　　）

• A、19，25
• B、20，24
• C、21，23
• D、22，22

Answer 1

分析：本題考查的知識點是簡單線性規劃的應用，由已知我們可設該廠生產甲、乙兩種紀念品分別為x，y套，月利潤為z元，則根據已知中生產一套甲型紀念品需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產一套乙型紀念品需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒．若甲型紀念品每套可獲利700元，乙型紀念品每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒．我們可以列出變量x，y的約束條件及目標函數Z的解析式，利用線性規劃的方法，易求出答案．

解答：解：設該廠每月生產甲型紀念品、乙型紀念品分別為x，y套，月利潤為z元，
由題意得

4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0

目標函數為z=700x+1200y．
作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖：
目標函數可變形為y=-

7

12

x+

z

1200

，
∵-

4

5

＜-

7

12

＜-

3

10

，
∴當y=

-7

12

x+

z

1200

通過圖中的點A時，

z

1200

最大，z最大．解

4x+5y=200 32+10y=300

得點A坐標為（20，24）．
將點A（20，24）代入z=700x+1200y
得z_max=700×20+1200×24=42800元．
答：該廠生產甲型紀念品和乙型紀念品分別為20、24套時月利潤最大，最大利潤為42800元．

點評：在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數Z與直線截距之間的關系?④使用平移直線法求出最優解?⑤還原到現實問題中．