Question

已知函數的定義域為,當時,,且對于任意的，恒有成立.
(1)求；
(2)證明：函數在上單調遞增；
(3)當時,
①解不等式；
②求函數在上的值域.

Answer 1

(1)  (2) 設，則， ∴函數在上單調遞增(3) ①②

試題分析：（1）∵對于任意的恒有成立.
∴令，得：2分
（2）設，則      4分

7分
∴函數在上單調遞增             8分
（3）①∵對于任意的恒有成立.
∴     
又∵，
∴等價于，    10分
解得：    12分
∴所求不等式的解集為
②
由①得：
由（2）得：函數在上單調遞增
故函數在上單調遞增      13分
，  15分
∴函數在上的值域為   16分
點評：第一問抽象函數求值關鍵是對自變量合理賦值，第二問判定其單調性需通過定義：在下比較的大小關系，第三問解不等式，求函數值域都需要結合單調性將抽象函數轉化為具體函數，利用單調性找到最值點的位置