Question

已知函數f（x）=plnx-（p-1）x²+1
（1）當p=1時，f（x）≤kx恒成立，求實數k的取值范圍；
（2）證明：ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）=plnx-（p-1）x²+1，所以當p=1時，f（x）≤kx恒成立，k≥

1+lnx

x

，令h(x)=

1+lnx

x

，則k≥h（x）_max，由此能求出實數k的取值范圍．
（2）由（1）知當k=1時，lnx＜x-1，令x=

n+1

n

，構造函數ln

n+1

n

＜

1

n

，由此能夠證明ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)．

解答：解：（1）∵f（x）=plnx-（p-1）x²+1，
∴x＞0，∴當p=1時，f（x）≤kx恒成立，
則1+lnx≤kx，∴k≥

1+lnx

x

，
令h(x)=

1+lnx

x

，則k≥h（x）_max，
∵h′(x)=-

lnx

x2

，∴由h′（x）=0，得x=1
且當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，
所以h（x）_max=h（1）=1，
故k≥1．
所以實數k的取值范圍是[1，+∞）．
（2）由（1）知當k=1時，有f（x）≤x，當x＞1時，f（x）＜x
即lnx＜x-1，令x=

n+1

n

，構造函數ln

n+1

n

＜

1

n

，
即ln(n+1)-lnn＜

1

n

，
所以ln

2

1

＜

1

1

，ln

3

2

＜

1

2

，…，ln

n+1

n

＜

1

n

，
相加得ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＜1+

1

2

+…+

1

n

，
而ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(

2

1

•

3

2

…

n+1

n

)=ln(n+1)，
所以ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)．

點評：本題考查函數恒成立時，實數的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，注意等價轉化思想和構造法的合理運用．