Question

求實數a,使下列等式對一切正整數n都成立:.

Answer 1

思路分析:對于此類型的題目,一般先使用不完全歸納法取n的特殊值,探求出待定系數再用數學歸納法證之.由于只有一個待定量,故只需取一個特殊值求a.

解:令n=1,得.∴a=3.

下面用數學歸納法證明:

(1)當n=1時,已證.

(2)假設n=k時,命題成立,即

.

則n=k+1時,左邊=+

=

所以,當n=k+1時命題也成立.

由(1)(2)可知當a=3時,等式對任意的n∈N^*均成立.