Question

12、下面是關于三棱錐的四個命題：
①底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．
③底面是等邊三角形，側面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．
④側棱與底面所成的角都相等，且側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
其中，真命題的編號是_____①④_．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：從正三棱錐的定義出發，結合正三棱錐的性質，對選項逐一判斷，即可解答．

解答：解：對于①，設四面體為D-ABC，過棱錐頂點D作底面的垂線DE，過E分別作AB，BC，CA邊的垂線，
其垂足依次為F，G，H，連接DF，DG，DH，則∠DFE，∠DGE，∠DHE分別為各側面與底面所成的角，
所以∠DFE=∠DGE=∠DHE，于是有FE=EG=EH，DF=DG=DH，故E為△ABC的內心，
又因△ABC為等邊三角形，所以F，G，H為各邊的中點，
所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA=DB=DC，
故棱錐為正三棱錐．所以為真命題．
對于②，側面為等腰三角形，不一定就是側棱為兩腰，所以為假命題．
對于③，面積相等，不一定側棱就相等，只要滿足斜高相等即可，所以為假命題．
對于④，由側棱與底面所成的角相等，可以得出側棱相等，又結合①知底面應為正三角形，所以為真命題．
綜上，①④為真命題．
故答案為：①④

點評：本題考查棱錐的結構特征，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，是基礎題．