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已知圓的方程為x2+y2=4,過點M(2,4)作圓的兩條切線,切點分別為A1、A2,直線A1A2恰好經過橢圓的右頂點和上頂點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設AB是橢圓(a>b>0)垂直于x軸的一條弦,AB所在直線的方程為x=m(|m|<a且m≠0),P是橢圓上異于A、B的任意一點,直線AP、BP分別交定直線于兩點Q、R,求證

【答案】分析:(Ⅰ)由圖易求切點A1(2,0),根據MO⊥A1A2可求直線A1A2的方程,從而可求橢圓上頂點,進而得a,b值;
(Ⅱ)設P(x,y),A(m,n),B(m,-n),則有,m2+4n2-4=0,寫出直線AP方程可求得yQ,同理求得yR,于是可得yQ•yR,進而得到,再根據m的范圍即可求證.
解答:解:(Ⅰ) 觀察知,x=2是圓的一條切線,切點為A1(2,0),
設O為圓心,根據圓的切線性質,MO⊥A1A2,
所以
所以直線A1A2的方程為
線A1A2與y軸相交于(0,1),依題意知a=2,b=1,
所求橢圓的方程為
(Ⅱ) 橢圓方程為,設P(x,y),A(m,n),B(m,-n),
則有,m2+4n2-4=0,
在直線AP的方程中,令,整理得.①
同理,.②
①×②,并將代入得yQ•yR=
===
=,
∵|m|<2且m≠0,∴

點評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關系,考查橢圓的標準方程,考查數形結合思想,考查學生的運算能力、分析問題解決問題的能力,難度較大.
練習冊系列答案
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已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(  )
A、10
6
B、20
6
C、30
6
D、40
6

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3、已知圓的方程為x2+y2-2x+6y+8=0,那么該圓的一條直徑所在直線的方程為(  )

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已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設該圓過點(3,5)的兩條弦分別為AC和BD,且AC⊥BD.則四邊形ABCD的面積最大值為(  )

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已知圓的方程為x2+y2=4,過點M(2,4)作圓的兩條切線,切點分別為A1、A2,直線A1A2恰好經過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右頂點和上頂點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點,P是橢圓上異于A、B的任意一點,直線AP、BP分別交定直線l:x=-4于兩點Q、R,求證
OQ
OR
為定值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知圓的方程為x2+y2+2x-4y-4=0,求經過點(4,-1)的該圓的切線方程.

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