Question

（2012•雁江區一模）已知函數f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的圖象過點（8，2），點P（3，-1）關于直線x=2的對稱點Q在f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值時x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出點P關于直線x=2的對稱點，然后把點（8，2）和P的對稱點的坐標代入函數f（x）的解析式聯立解方程組可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入函數g（x）=2f（x）-f（x-1），整理后把得到的函數中對數式的真數運用基本不等式求出最小值，然后借助于對數函數的單調性可求函數g（x）的最小值．

解答：解析：（Ⅰ）點P（3，-1）關于直線x=2的對稱點Q的坐標為Q（1，-1）
結合題設知，可得

f(8)=2 f(1)=-1

，即

m+loga8=2 m+loga1=-1

，
解得m=-1，a=2，故函數解析式為f（x）=-1+log₂x．
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log₂x）-[-1+log₂（x-1）]=log2

x2

x-1

-1（x＞1），
∵

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2≥2

(x-1)• 1 x-1

+2=4，
當且僅當x-1=

1

x-1

即x=2時，“=”成立，
而函數y=log₂x在（0，+∞）上單調遞增，則log2

x2

x-1

-1≥log24-1=1，
故當x=2時，函數g（x）取得最小值1．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了利用基本不等式求函數最小值，利用基本不等式求最值一定要注意應滿足的條件，即“一正、二定、三相等”，是中檔題．