Question

如圖，空間直角坐標系O-xyz中，已知A（1，0，0），B（0，2，0），現將△AOB按向量平移到△A'O'B'．
（Ⅰ）寫出三點A'、O'、B'的坐標；
（Ⅱ）求證：AB'⊥BO'；
（Ⅲ）求二面角A-BB'-O的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先分別寫出的坐標，即可得到點A'、O'、B'的坐標；
（Ⅱ） 要證AB'⊥BO'；只需證明對應的數量積為0即可；
（Ⅲ） 先求平面的法向量，再利用向量的數量積公式求面面角．
解答：解：（Ⅰ）=（1，0，0）+（0，-1，，-1，，
同理，2，0）+（0，-1，=（0，1，，又，-1，，
所以A'（1，-1，，O'（0，-1，，B'（0，1，；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ），1，，0，0）=（-1，1，，，-1，，2，0）=（0，-3，，
而，所以，即AB'⊥BO'；
（Ⅲ）設平面ABB'的法向量為，y，z），則且，
所以且，即，取z=1，得，，
所以，，1）．又平面OBB'的一個法向量是，0，0），，
所以，從而二面角A-BB'-O的大小為30°．
點評：本題的考點是用空間向量求平面角的夾角，主要考查空間向量的運用，考查向量的數量積公式，屬于中檔題．