Question

已知a≠0，函數f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）若在區間(0，

1

2

]上至少存在一個實數x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，當f'（x）＜0時的x的區間即是原函數的單調遞減區間．
（2）令F（x）=f（x）-g（x），只要函數F（x）在區間（0，

1

2

]上的最大值大于0即可得到答案．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

求導得，f'（x）=a²x²-2ax．
①當a＞0時，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-

2

a

)＜0，解得0＜x＜

2

a

所以f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

在(0，

2

a

)上遞減．
②當a＜0時，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-

2

a

)＜0可得

2

a

＜x＜0
所以f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

在(

2

a

，0)上遞減．
綜上：當a＞0時，f（x）單調遞減區間為(0，

2

a

)；
當a＜0時，f（x）單調遞減區間為(

2

a

，0)
（Ⅱ）設F(x)=f(x)-g(x)=

1

3

a2x3-ax2+ax-

1

3

x∈(0，

1

2

]．
對F（x）求導，得F'（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x），
因為x∈(0，

1

2

]，a＞0，所以F'（x）=a²x²+a（1-2x）＞0，F（x）在區間(0，

1

2

]上為增函數，則F(x)max=F(

1

2

)．
依題意，只需F（x）_max＞0，即

1

3

a2×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0，
即a²+6a-8＞0，解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）．
所以正實數a的取值范圍是(-3+

17

，+∞)．

點評：本題主要考查通過求導求函數增減性的問題．當導數大于0時原函數單調遞增，當導數小于0時原函數單調遞減．