Question

對于f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)．
（1）函數的“定義域為R”和“值域為R”是否是一回事？分別求出實數a的取值范圍；
（2）結合“實數a的取何值時f（x）在[-1，+∞）上有意義”與“實數a的取何值時函數的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞）”說明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區別．

Answer 1

分析：（1）記μ=g（x）=（x-a）²+3-a²，定義域是實數，g（x）＞0恒成立．求出a的范圍；值域為R：log

1

2

μ值域為R，可得μ至少取遍所有的正實數，求出a的范圍即可．
（2）實數a的取何值時f（x）在[-1，+∞）上有意義，命題等價于：μ=g（x）＞0對于任意x∈[-1，+∞）恒成立，求出a；
實數a的取何值時函數的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞）：求出a；“有意義問題”正好轉化成“恒成立問題”來處理，
而“定義域問題”剛好轉化成“取遍所有問題”來解決．

解答：解：記μ=g（x）=（x-a）²+3-a²，則f(x)=log

1

2

μ；
（1）不一樣；（1分）
定義域為R?g（x）＞0恒成立．
得：△=4（a²-3）＜0，解得實數a的取值范圍為(-

3

，

3

)．（4分）
值域為R：log

1

2

μ值域為R?μ至少取遍所有的正實數，
則△=4（a²-3）≥0，解得實數a的取值范圍為(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)．（6分）
（2）實數a的取何值時f（x）在[-1，+∞）上有意義：
命題等價于μ=g（x）＞0對于任意x∈[-1，+∞）恒成立，
則

a＜-1 g(-1)＞0

或

a≥-1 3-a2＞0

，解得實數a得取值范圍為(-2，

3

)．（8分）
實數a的取何值時函數的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞）：
由已知得二次不等式x²-2ax+3＞0的解集為（-∞，1）∪（3，+∞）可得1+3=2a，
則a=2．故a的取值范圍為{2}．（11分）
區別：“有意義問題”正好轉化成“恒成立問題”來處理，
而“定義域問題”剛好轉化成“取遍所有問題”來解決
（這里轉化成了解集問題，即取遍解集內所有的數值）（12分）

點評：本題考查對數函數的定義域，函數恒成立問題，對數函數的值域與最值，考查邏輯思維能力，是中檔題．