Question

以一年為一個周期調查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發現：該商品的出廠價格是在6元基礎上按月份隨正弦曲線波動的，已知3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎上按月隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價最高為10元，9月份銷售價最低為6元，假設某商店每月購進這種商品m件，且當月售完，請分別寫出該商品的出廠價格函數、銷售價格函數、盈利函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：將出廠價格函數設為 f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+k₁，x∈[0，12]，銷售價格函數設為g（x）=A₂sin（ω₂x+φ₂）+k₂，x∈[0，12]，根據已知將A₁ A₂ ω₁ ω₂  k₁ k₂分別求出，再根據盈利=m×（銷售價格-出廠價格），求得盈利函數．
解答：解：設出廠價格函數為 f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+k₁，x∈[0，12]
銷售價格函數為g（x）=A₂sin（ω₂x+φ₂）+k₂，x∈[0，12}
由題設，A₁=，k₁=6
ω₁==    A₂=  K₂=8ω₂==
將（3，8）代入f（x）可得 2sin（×3+φ₁）+6=8 得φ₁=-+2kπ，k∈Z
將（5，10）代入g（x）可得 2sin（×5+φ₂）+8=10 得φ₂=-+2kπ，k∈Z
故 出廠價格函數為 f（x）=2sin（x-）+6，x∈[0，12}
銷售價格函數為g（x）=2sin（x-）+8，x∈[0，12}
又設盈利函數為H（x）則，H（x）=[g（x）-f（x）]×m=2m[sin（x-）-sin（x-）+1]x∈[0，12}
即盈利函數為H（x）=2m[sin（x-）-sin（x-）+1]x∈[0，12}
∴該商品的出廠價格函數為 f（x）=2sin（x-）+6，x∈[0，12}
銷售價格函數為g（x）=2sin（x-）+8，x∈[0，12}
盈利函數為H（x）=2m[sin（x-）-sin（x-）+1]x∈[0，12}
點評：本題考查了三角函數的圖象和性質，特別是y=Asin（wx+φ）的圖象性質及其實際意義，解題時要認真分析，仔細辨別．