Question

若橢圓的對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為

3

，則這個橢圓的方程為（　　）

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1
• B、

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1或

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1
• D、以上都不對

Answer 1

分析：根據橢圓的基本概念與正三角形的性質，可得b=

3

c．再由橢圓焦點到橢圓上點的最短距離為a-c=

3

，聯解得出a、b、c的值，即可得到所求橢圓的方程．

解答：解：設短軸的一個端點為P，左右焦點分別為F₁、F₂，
∵△PF₁F₂為正三角形，
∴|OP|=

3

2

|F₁F₂|，可得b=

3

c，即

a2-c2

=

3

c．…①
又∵橢圓的焦點到橢圓上點的最短距離為

3

，
∴a-c=

3

，…②
聯解①②，可得a=2

3

，c=

3

，b=

a2-c2

=3．
因此a²=12且b²=9，可得橢圓的標準方程為

x2

12

+

y2

9

=1或

x2

9

+

y2

12

=1．
故選：C

點評：本題已知橢圓滿足的條件，求橢圓的標準方程．著重考查了正三角形的性質、橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．