Question

（如圖）過橢圓=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓=1的“左特征點”M的坐標．
（2）試根據（1）中的結論猜測：橢圓=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）設M的左特征點
因為，橢圓的左焦點F（-2，0），
可設直線AB的方程為x=ky-2（k≠0）
代入，得：（ky-2）y²+5y²=5，
即（k²+5）y²-4ky-1=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得，
由于，∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即y₁（x₂-m）+y₂（x₁-m）=0，即y₁（ky₂-2）+y₂（ky₁-2）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+2）=0
于是，
因為k≠0，所以1+2（m+2）=0，即
（2）對于橢圓，，
于是猜想：橢圓的“左特征點”是橢圓的左準線與x軸的交點
證明：設橢圓的左準線l與x軸相交于M點，過A、B分別作l的垂線，
垂足為C、D．
據橢圓的第二定義：
由于AC∥FM∥BD，所以
于是
所以，∠AMC=∠BMD?∠AMF=∠BMF
則MF為∠AMB的平分線
故M為橢圓的“左特征點”．
分析：（1）設M的左特征點，由橢圓左焦點F（-2，0），可設直線AB方程為x=ky-2（k≠0），代入，得（k²+5）y²-4ky-1=0，由∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即整理可求．
（2）對于橢圓，，結合橢圓的性質特征可猜想：橢圓的左特征點是橢圓的左準線與x軸的交點，然后可以利用第二定義給與證明．
點評：本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質的應用，直線與橢圓相交關系的處理，要注意解題中直線AB得方程設為x=ky-2（k≠0）的好處在于避免討論直線的斜率是否存在．