Question

如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=8，M、N、P是將半圓圓周四等分的三個分點
（1）從A、B、M、N、P這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；
（2）在半圓內任取一點S，求三角形SAB的面積大于8

2

的概率．

Answer 1

分析：（1）這是一個古典概型問題，我們可以列出從A、B、M、N、P這5個點中任取3個點，可能組成的所有三角形的個數，然后列出其中是直角三角形的個數，代入古典概型公式即可求出答案．
（2）這是一個幾何概型問題，我們可以求出所有事件對應平面區域的面積，再求出滿足條件平面區域面積，代入幾何概型公式即可求出答案．

解答：解：（1）從A、B、M、N、P這5個點中任取3個點，一共可以組成10個三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP3個，
所以這3個點組成直角三角形的概率P=

3

10

．
（2）連接MP，取線段MP的中點D，則OD⊥MP，
易求得OD=2

2

，
當S點在線段MP上時，S_△ABS=

1

2

×2

2

×8=8

2

，
所以只有當S點落在陰影部分時，三角形SAB面積才能大于8

2

，而
S_陰影=S_扇形OMP-S_△OMP=

1

2

×

π

2

×4²-

1

2

×4²=4π-8，
所以由幾何概型公式得三角形SAB的面積大于8

2

的概率P=

4π-8

8π

=

π-2

2π

．

點評：本題考查的是幾何概型和古典概型，掌握幾何概型和古典概型的計算步驟和計算公式是解答本題的關鍵．