Question

如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.

（Ⅰ）若點是棱的中點，求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.   

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為點是菱形的對角線的交點，所以是的中點.又點是棱的中點，

所以是的中位線，.                    

因為平面,平面,

所以平面.                          

（Ⅱ）解：由題意，，因為，

所以，.又因為菱形，所以，.

建立空間直角坐標系，如圖所示.

.

所以                   

設平面的法向量為，

則有即：

令，則，所以.          

因為,所以平面.    

平面的法向量與平行，

所以平面的法向量為.                      

，因為二面角是銳角，

所以二面角的余弦值為.              

（Ⅲ）解：因為是線段上一個動點，設，，

則，所以，                              

則，，

由得，即，

解得或，                                      

所以點的坐標為或.（也可以答是線段的三等分點，或）