Question

偶函數f（x）（x∈R）滿足：f（-4）=f（1）=0，且在區間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增，則不等式x³f（x）＜0的解集為（ ）
A．（-∞，-4）∪（4，+∞）
B．（-4，-1）∪（1，4）
C．（-∞，-4）∪（-1，0）
D．（-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4）

Answer 1

【答案】分析：利用偶函數關于y軸對稱的性質并結合題中給出函數的單調區間畫出函數f（x）的圖象，再由x³f（x）＜0得到x³與f（x）異號得出結論．
解答：解：∵f（x）是偶函數
∴f（-x）=f（x）即f（4）=f（-1）=0
又∵f（x）在區間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增得到圖象如圖：
由圖可知，當x＞0時x³＞0要x³f（x）＜0只需f（x）＜0即x∈（1，4）
當x＜0時同理可得x∈（-∞，-4）∪（-1，0）故答案選D．
點評：本題考查了利用函數的奇偶性和單調性做出函數圖象，并利用數形結合求解．