Question

【題目】已知函數，其導函數為

當時，若函數在R上有且只有一個零點，求實數a的取值范圍；

設，點是曲線上的一個定點，是否存在實數使得成立？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析.

【解析】

當，，由題意，令，則，解得，由此能求出或時，在R上有且只有一個零點

由，得，假設存在，則，利用導數性質推導出不存在實數使得成立。

當時，，，

，，

由題意得，即，

令，則，解得，

當時，，單調弟增，

當時，，單調遞減，

，

當時，，當時，，

則或時，在R上有且只有一個零點．

由，得，

假設存在，

則有，

即，

，

，

，

即，，，

令，則，

兩邊同時除以，得，即，

令，，

令在上單調遞增，且，

對于恒成立，即對于恒成立，

在上單調遞增，，

對于恒成立，

不成立，

同理，時，也不成立

不存在實數使得成立．