【題目】【2017河北唐山三�！�已知函數
， 
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若函數
在區間
有唯一零點
，證明： 
.
【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）求導得
， 分
， 
， 
，三種情況討論可得單調區間.
（Ⅱ）由（1）及
可知：僅當極大值等于零，即
且 
所以
，且
，消去
得
，構造函數，證明單調且零點存在且唯一即可.
試題解析：（Ⅰ） 
， 
，
令
， 
，
若
，即
，則
，
當
時， 
， 
單調遞增，
若
，即
，則
，僅當
時，等號成立，
當
時， 
， 
單調遞增.
若
，即
，則
有兩個零點
， 
，
由
， 
得
，
當
時， 
， 
， 
單調遞增；
當
時， 
， 
， 
單調遞減；
當
時， 
， 
， 
單調遞增.
綜上所述，
當
時， 
在
上單調遞增；
當
時， 
在
和
上單調遞增，
在
上單調遞減.
（Ⅱ）由（1）及
可知：僅當極大值等于零，即
時，符合要求.
此時， 
就是函數
在區間
的唯一零點
.
所以
，從而有
，
又因為
，所以
，
令
，則
，
設
，則
，
再由（1）知： 
， 
， 
單調遞減，
又因為
， 
，
所以
，即
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線的方程為
，過點
的一條直線與拋物線
交于
兩點，若拋物線在兩點的切線交于點
.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設直線
與直線
的夾角為
，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2017重慶二診】已知橢圓
： 
的左頂點為
，右焦點為
，過點
且斜率為1的直線交橢圓
于另一點
，交
軸于點
， 
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
作直線
與橢圓
交于
兩點，連接
（
為坐標原點）并延長交橢圓
于點
，求
面積的最大值及取最大值時直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知{an}是等差數列，滿足a1=3，a4=12，數列{bn}滿足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}為等比數列．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）求數列{bn}的前n項和．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為備戰
年瑞典乒乓球世界錦標賽，乒乓球隊舉行公開選撥賽，甲、乙、丙三名選手入圍最終單打比賽名單.現甲、乙、丙三人進行隊內單打對抗比賽，每兩人比賽一場，共賽三場，每場比賽勝者得
分，負者得
分，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為
，丙勝甲的概率為
，乙勝丙的概率為
，且各場比賽結果互不影響.若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）設在該次對抗比賽中，丙得分為
，求
的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分16分）
在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
（a＞b＞0）的上頂點到焦點的距離為2，離心率為
．
（1）求a，b的值．
（2）設P是橢圓C長軸上的一個動點，過點P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點．
（ⅰ）若k＝1，求△OAB面積的最大值；
（ⅱ）若PA2＋PB2的值與點P的位置無關，求k的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）= 
﹣2ax+1+lnx
（1）當a=0時，若函數f（x）在其圖象上任意一點A處的切線斜率為k，求k的最小值，并求此時的切線方程；
（2）若函數f（x）的極大值點為x1 ， 證明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．
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