Question

如圖（1）示，定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數A，都有f（x）≥A成立，則稱函數f（x）在D上有下界，其中A稱為函數的下界．（提示：圖（1）、（2）中的常數A、B可以是正數，也可以是負數或零）  

（Ⅰ）試判斷函數f（x）=x³+在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）又如具有如圖（2）特征的函數稱為在D上有上界．請你類比函數有下界的定義，給出函數f（x）在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數在（-∞，0）上是否有上界？并說明理由；
（Ⅲ）若函數f（x）在D上既有上界又有下界，則稱函數f（x）在D上有界，函數f（x）叫做有界函數．試探究函數f（x）=ax³+（a＞0，b＞0a，b是常數）是否是[m，n]（m＞0，n＞0，m、n是常數）上的有界函數？

Answer 1

【答案】分析：（I）函數f（x）=x³+在（0，+∞）上有下界32．利用導數或基本不等式求極小值能夠進行判斷．
（Ⅱ）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數B，都有f（x）≤B成立，則稱函數f（x）在D上有上界，其中B稱為函數的上界．利用函數在（-∞，0）上有下界及其奇偶性即可得出結論；
（Ⅲ）求導，利用導數研究其單調性，再對字母m的值進行分類討論，即可得到函數是[m，n]上的有界函數．
解答：解：（Ⅰ）
解法1：∵，由f'（x）=0得，x⁴=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-----------------------------（2分）
∵當0＜x＜2時，f'（x）＜0，∴函數f（x）在（0，2）上是減函數；
當x＞2時，f'（x）＞0，∴函數f（x）在（2，+∞）上是增函數；
∴x=2是函數的在區間（0，+∞）上的最小值點，
∴對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，------------------------------------（4分）
即在區間（0，+∞）上存在常數A=32，使得對?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函數在（0，+∞）上有下界．-----------------------------（5分）
[解法2：∵x＞0∴
當且僅當即x=2時“=”成立
∴對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在區間（0，+∞）上存在常數A=32，使得對?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函數在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：
定義在D上的函數f（x），如果滿足：對?x∈D，?常數B，都有f（x）≤B成立，則稱函數f（x）在D上有上界，其中B稱為函數的上界．------------------------------（7分）
設x＜0，則-x＞0，由（Ⅰ）知，對?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函數為奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32
即存在常數B=-32，對?x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函數在（-∞，0）上有上界．----------------------------（9分）
（Ⅲ）∵，
由f'（x）=0得，∵a＞0，b＞0
∴，∵[m，n]?（0，+∞），∴，--------------------------------（10分）
∵當時，f'（x）＜0，∴函數f（x）在（0，）上是減函數；
當時，f'（x）＞0，∴函數f（x）在（，+∞）上是增函數；
∴是函數的在區間（0，+∞）上的最小值點，------------------------------（11分）
①當時，函數f（x）在[m，n]上是增函數；
∴f（m）≤f（x）≤f（n）
∵m、n是常數，∴f（m）、f（n）都是常數
令f（m）=A，f（n）=B，
∴對?x∈[m，n]，?常數A，B，都有A≤f（x）≤B
即函數在[m，n]上既有上界又有下界-------------------------（12分）
②當 時函數f（x）在[m，n]上是減函數
∴對?x∈[m，n]都有f（n）≤f（x）≤f（m）
∴函數在[m，n]上有界．-------------------------（13分）
③當時，函數f（x）在[m，n]上有最小值f（x）_min=
令，令B=f（m）、f（n）中的最大者
則對?x∈[m，n]，?常數A，B，都有A≤f（x）≤B
∴函數在[m，n]上有界．
綜上可知函數是[m，n]上的有界函數--------------------（14分）
點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．