Question

【題目】設函數，，.

（1）當，，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數在區間上的最小值為，求實數的值；

（3）當時，若函數恰有兩個零點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

(1)利用導數的幾何意義求出斜率,再由點斜式可求得線在點處的切線方程;

(2)利用,可得,令,可解得,

,可得,再令,通過兩次求導可得,可得,從而可證.

（1）依題意得：，則，

，，

所以曲線在點處的切線方程：，即

（2）

當時，，在上單調遞增，

此時，∴

當時，令，且當時，，遞減；

當時，，遞增

∴，∴（舍去）

綜上：.

（3）當時，

∴，②①，得

∴，

令,則,

所以 ,因為,所以,

所以,

所以,

令,

則,

所以, 因為,所以,

所以為上的增函數,

所以,

所以為上的增函數,

所以,即,

所以,

因為,所以,

所以,即,

所以.