Question

已知函數f(x)=

2x

1+2x

+a是奇函數，則a=

-

1

2

．用符號[x]表示不超過x的最大整數，則函數y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是

{0，-1}

．

Answer 1

分析：直接根據奇函數中f（0）=0即可求出a；再化簡函數f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，對x的正、負、和0分類討論，求出[f（x）]+[f（-x）]的值．

解答：解：∵函數f(x)=

2x

1+2x

+a是奇函數；
∴f（0）=

20

1+20

+a=0⇒a=-

1

2

，
∴f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

當x＞0，0≤f（x）＜

1

2

[f（x）]=0
當x＜0，-

1

2

＜f（x）＜0，[f（x）]=-1
當x=0，f（x）=0，[f（x）]=0
所以：當x=0 y=[f（x）]+[f（-x）]=0
當x不等于0 y=[f（x）]+[f（-x）]=0-1=-1
所以，y的值域：{0，-1}
故答案為：-

1

2

，{0，-1}．

點評：本題考查函數的值域，函數的單調性奇偶性及其特點，考查學生分類討論的思想，是中檔題．