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已知函數，它的一個極值點是．

(Ⅰ) 求的值及的值域；

(Ⅱ)設函數，試求函數的零點的個數．

 

【答案】

(Ⅰ) 當時，的值域為；當時，的值域為；(Ⅱ) 當時，函數有2個零點；當時，函數沒有零點．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為它的一個極值點是，所以有，可求出的值，從而求出值域；(Ⅱ) 函數的零點個數問題可轉化為函數的圖象與函數的圖象的交點個數問題．

試題解析：（1），因為它的一個極值點是，所以有，可得或．當時，分析可知：在區間單調遞減，在區間單調遞增；由此可求得，的值域為；當時，分析可知：在區間單調遞減，在區間單調遞增；由此可求得，的值域為．

(Ⅱ)函數的零點個數問題可轉化為函數的圖象與函數的圖象的交點個數問題．．因為，所以，所以．設，則，所以函數在區間上單調遞增，所以，即有．所以．所以，函數在區間上單調遞增．

（�。┊�時，，，，

而，結合（1）中函數的單調性可得，此時函數的圖象與函數的圖象有2個交點，即函數有2個零點．

(ⅱ)當時，，由于，所以，此時函數的圖象與函數的圖象沒有交點，即函數沒有零點．

綜上所述，當時，函數有2個零點；當時，函數沒有零點．

考點：1、函數極值點，2、利用導數判斷單調性，3、函數的圖像與性質．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

15、已知函數f（x）是定義在實數集R上的函數，給出下列結論：
①若存在常數x0，使f′（x）=0，則函數f（x）必在x0處取得極值；
②若函數f（x）在x0處取得極值，則函數f（x）在x0處必可導；
③若函數f（x）在R上處處可導，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數f（x）的最小值；
⑤若對于任意x＜x0有f′（x）＞0，對于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數f（x）的一個最大值；
其中正確結論的序號是
④⑤
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
②設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

已知函數f（x）是定義在實數集R上的函數，給出下列結論：
①若存在常數x0，使f′（x）=0，則函數f（x）必在x0處取得極值；
②若函數f（x）在x0處取得極值，則函數f（x）在x0處必可導；
③若函數f（x）在R上處處可導，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數f（x）的最小值；
⑤若對于任意x＜x0有f′（x）＞0，對于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數f（x）的一個最大值；
其中正確結論的序號是 ________．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數f（x）是定義在實數集R上的函數，給出下列結論：
①若存在常數x0，使f′（x）=0，則函數f（x）必在x0處取得極值；
②若函數f（x）在x0處取得極值，則函數f（x）在x0處必可導；
③若函數f（x）在R上處處可導，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數f（x）的最小值；
⑤若對于任意x＜x0有f′（x）＞0，對于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數f（x）的一個最大值；
其中正確結論的序號是 ______．

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科目：高中數學 來源：2011年云南省高三數學一輪復習單元測試14：導數及應用（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）是定義在實數集R上的函數，給出下列結論：
①若存在常數x，使f′（x）=0，則函數f（x）必在x處取得極值；
②若函數f（x）在x處取得極值，則函數f（x）在x處必可導；
③若函數f（x）在R上處處可導，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對于任意x≠x都有f（x）＞f（x），則f（x）是函數f（x）的最小值；
⑤若對于任意x＜x有f′（x）＞0，對于任意x＞x有f′（x）＜0，則f（x）是函數f（x）的一個最大值；
其中正確結論的序號是     ．

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