Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列．
（1）若

AB

•

BC

=-

3

2

，且b=

3

，求a+c的值；
（2）若存在實數m，使得2sinA-sinC=m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據A、B、C成等差數列得到B=

π

3

，從而將

AB

•

BC

=-

3

2

化簡得到ac=3．再由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，整理得到3=a²+c²-ac，兩式聯解即可得到a+c=2

3

；
（2）根據C=

2π

3

-A，將等式左邊展開，化簡得到2sinA-sinC=

3

sin(A-

π

6

)，結合A的取值范圍并利用正弦函數的圖象與性質，算出2sinA-sinC∈（-

3

2

，

3

），由此即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵A、B、C成等差數列，
∴2B=A+C，結合A+B+C=π，可得B=

π

3

，
∵

AB

•

BC

=-

3

2

，得c•acos

2π

3

=-

3

2

，
∴ac=3． ①
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos

π

3

，
∴3=a²+c²-ac，可得a²+c²=3+ac=6． 
由此聯解①、②，得a+c=2

3

．
（2）2sinA-sinC=2sinA-sin(

2π

3

-A)
=2sinA-(

3

2

cosA+

1

2

sinA)=

3

2

sinA-

3

2

cosA=

3

sin(A-

π

6

)，
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

π

2

，
由此可得2sinA-sinC的取值范圍為(-

3

2

，

3

)，
即m的取值范圍為（-

3

2

，

3

）

點評：本題給出三角形的邊角關系式和向量數量積的值，求三角形角B的大小和a+c的值，著重考查了平面向量數量積運算公式、運用正余弦定理解三角形和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．