Question

若y=cos²x+2psinx+q有最大值9和最小值6，求實數p，q的值．

Answer 1

分析：先令sinx=t將y=cos²x+2psinx+q轉化為關于t且t∈[-1，1]的一元二次函數，然后求出其對稱軸，再對p的值進行討論從而可確定函數在[-1，1]上的單調性，進而根據其最值可求出p，q的值．

解答：解：令sinx=t，t∈[-1，1]，
y=1-sin²x+2psinx+q
y=-（sinx-p）²+p²+q+1=-（t-p）²+p²+q+1
∴y=-（t-p）²+p²+q+1，對稱軸為t=p
當p＜-1時，[-1，1]是函數y的遞減區間，
y_max=y|_t=-1=（-1-p）²+p²+q+1=9，y_min=y|_t=1=（1-p）²+p²+q+1=6，
得p=

3

4

，q=

15

2

，與p＜-1矛盾；
當p＞1時，[-1，1]是函數y的遞增區間，
y_max=y|_t=1=2p+q=9，y_min=y|_t=-1=-2p+q=6，
得p=

3

4

，q=

15

2

，與p＞1矛盾；
當-1≤p≤1時，y_max=y|_t=p=p²+q+1=9，
再當p≥0，y_min=y|_t=-1=-2p+q=6，得p=

3

-1，q=4+2

3

；
當p＜0，y_min=y|_t=1=2p+q=6，得p=-

3

+1，q=4+2

3

∴p=±(

3

-1)，q=4+2

3

．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系和一元二次函數的單調性以及最值的問題．考查考生的基礎知識的綜合運用能力．