Question

已知函數f（x）=x³-ax²．
（I）求以曲線f（x）上的點P（1，0）為切點的切線方程；
（Ⅱ）當a≤0時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）如果函數f（x）的圖象與函數g（x）=x⁵-2x³+x²的圖象有四個不同的交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點P的坐標代入函數解析式中求出a的值，把a的值代入f（x）中確定出解析式，求出f（x）的導函數，把P的橫坐標代入即可求出切線方程的斜率，由切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導函數，分解因式后，根據a=0和a大于0，分別討論導函數的正負即可得到函數的單調區間；
（Ⅲ）函數f（x）的圖象與函數g（x）=x⁵-2x³+x²的圖象有四個不同的交點，即令f（x）=g（x）得到的方程有四個根，顯然x=0是方程的解，所以得到x³-3x+（a+1）=0有三個不同的非零根，可設M（x）等于方程的左邊，求出M（x）的導函數，根據導函數的正負判斷函數的單調區間，根據函數的增減性得到M（x）的最大值和最小值，讓最大值大于0，最小值小于0，a+1不等于0，列出關于a的不等式組，求出不等式組的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）過點P（1，0），∴a=1．
∵f′（x）=3x²-2x，k=f′（1）=1，
∴以P（1，0）為切點的切線方程：y=x-1．（3分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a）（a≤0），
①當a=0時，f′（x）≥0恒成立，∴函數f（x）在（-∞，+∞）單調遞增，
②當a＜0時，令f′（x）≥0，則x≥0或x≤

2a

3

，∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，

2a

3

）∪[0，+∞）；單調遞減區間為[

2a

3

，0）．（7分）
（Ⅲ）∵函數f（x）的圖象與函數g（x）=x⁵-2x³+x²的圖象有四個不同的交點，
∴x³-ax²=x⁵-2x³+x²，即x⁵-3x³+（a+1）x²=0有四個不同的根．
顯然x=0為其中的一個根．
∴x³-3x+（a+1）=0有三個不同的非零根，（8分）
構造輔助函數M（x）=x³-3x+（a+1）．則M′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
∴M（x）在區間（-1，1）上單調遞減，在區間（-∞，-1）∪（1，+∞）上單調遞增．
∴M（x）_max=M（-1），M（x）_min=M（1），（10分）
∴x³-3x+（a+1）=0有三個不同的非零根
?

M(-1)＞0 M(1)＜0 a+1≠0

，即

a+3＞0 a-1＜0 a≠-1

，
∴-3＜a＜1且a≠-1．（12分）

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據導函數的正負判斷得到函數的單調區間，會根據函數的增減性得到函數的極值，是一道中檔題．