Question

【題目】已知函數．

（）討論函數在定義域內的極值點的個數．

（）若函數在處取得極值，且對，恒成立，求實數的取值范圍．

（）當且時，試比較與的大小．

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】分析：（1）求出函數的定義域和導函數，通過討論的符號確定導函數的符號變化，進而得到函數的單調性和極值點的個數；（2）先利用（1）求出，再分離參數，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題；（3）利用（2）結論合理賦值即可.

解析：（）函數的定義域為，．

①當時，在上恒成立，在上單調遞減，

∴在上沒有極值點．

②當時，令得，

令得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴在處有極小值，

；

綜上所述，當時，在上沒有極值點，

當時，在上有一個極值點．

（）∵函數在處有極值，

∴由（）可知，解得：，

∴，

對，恒成立，等價于，恒成立，

則，

令，則，

令，解得，令，解得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

在處取得最小值，，

∴，

故實數的取值范圍是．

（）由（）知在上為減函數，

∴且時，有，

即，整理得①，

當時，，由①得，；

當時，，由①得，．