Question

【題目】設函數.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減；

當時，在，上單調遞減，在上單調遞增.

（2）見解析

【解析】

（1）求出，令，，討論的取值，判斷的符號，從而可求出的單調性.

（2）由（1）得時，有兩個極值點，設，則有且，整理，，令，，利用導數研究函數的單調性，可得，進而可得證

解：（1），

令，，

①當時，在上單調遞減，

②當時，，由得，，

當時，當時，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

③當時，，，∴在上單調遞減，

④當時，，由得，

當或時，，

當時，，

∴在，上單調遞減，

在上單調遞增，

綜上所述，

當時，在上單調遞減，

在上單調遞增；

當時，在上單調遞減；

當時，在，上單調遞減，

在上單調遞增.

（2）由（1）得時，有兩個極值點，設，

則有且，

∴

，，

令，，

，

令，則

，

∵，∴，，，

∴當時，，∴在區間單調遞增，

∴，∴在區間單調遞減，

∴，

綜上，.