Question

已知一個扇形的周長為a,求當扇形的圓心角多大時,扇形的面積最大,并求這個最大值.

Answer 1

活動:這是一道應用題,并且考查了函數思想,教師提示學生回顧一下用函數法求最值的思路與步驟,教師提問學生對已學知識的掌握和鞏固,并對回答好的學生進行表揚,對回答不全面的學生給予一定的提示和鼓勵.教師補充.函數法求最值所包括的五個基本環節:(1)選取自變量;(2)建立目標函數;(3)指出函數的定義域;(4)求函數的最值;(5)作出相應結論.其中自變量的選取不唯一,建立目標函數結合有關公式進行,函數定義域要根據題意確定,有些函數是結構確定求最值的方法,并確保在定義域內能取到最值.

解:設扇形的弧長為l,半徑為r,圓心角為α,面積為S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.

∴S=l·r= (a-2r)·r=-r²+r=-(r-)²+.

∵r＞0,l=a-2r＞0,∴0＜r＜.

∴當r=時,=此時,l=a-2·=,∴α==2.

故當扇形的圓心角為2rad時,扇形的面積取最大值

點評:這是一個最大值問題,可用函數法求解,即將扇形的面積S表示成某個變量的函數,然后求這個函數的最大值及相應的圓心角.