Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，離心率為， ， 是橢圓的長軸的兩個端點（位于右側），是橢圓在軸正半軸上的頂點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在經過點且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點和，使得向量與共線？如果存在，求出直線方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】試題分析：（1）依題意得解得， .

所以橢圓的方程為.（2）假設存在過點且斜率為的直線適合題意，則因為直線的方程為： ，于是聯立方程， .由直線與橢圓交于不同兩點和知，

， .令， ， ，由韋達定理得出結論， ，根據向量與共線，可得， ，這與矛盾.

試題解析：

（1）設橢圓的方程為，

.依題意得解得， .

所以橢圓的方程為.

（2）假設存在過點且斜率為的直線適合題意，則因為直線的方程為： ，于是聯立方程， .

由直線與橢圓交于不同兩點和知，

， .

令， ， ，

， ，

，

由題知， ， .

從而，根據向量與共線，可得， ，這與矛盾.

故不存在符合題意的直線.