Question

已知函數f(x)=2acos2x-2

3

asinxcosx+b的定義域為R，且b≤2．又{y|y=f(x)，x∈[0，

π

2

] }=[1，4]．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的對稱軸方程；
（3）求函數y=log₂[f（x）-3]的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式，結合函數f（x）的定義域為[0，

π

2

]、值域為[1，4]，求得a、b的值．
（2）由（1）可得函數f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3，由2x+

π

3

=kπ，可得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，從而得到函數f（x）的對稱軸方程．
（3）由f（x）＞3，求得x的范圍，可得函數的定義域．根據復合函數的單調性，本題即求函數f（x）在定義域內的單調增區間，結合余弦函數的圖象可得，
f（x）在定義域內的單調增區間．

解答：解：（1）函數f(x)=2acos2x-2

3

asinxcosx+b=acos2x+a-

3

asin2x+b=2acos（2x+

π

3

）+b+a，
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，∴-1≤cos2x≤

1

2

．
當a＞0時，-a+b≤f（x）≤2a+b，又{y|y=f(x)，x∈[0，

π

2

] }=[1，4]，
∴

-a+b=1 2a+b=4 b≤2

，解得

a=1 b=2

．
當a＜0時，2a+b≤f（x）≤-a+b，又{y|y=f(x)，x∈[0，

π

2

] }=[1，4]，
∴

-a+b=4 2a+b=1 b≤2

，解得

a=-1 b=3

（舍去）．
（2）由（1）可得函數f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3．
由2x+

π

3

=kπ，可得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，
故函數f（x）的對稱軸方程為 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z．
（3）由函數y=log₂[f（x）-3]，可得f（x）＞3，即cos（2x+

π

3

）＞0，故有2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

5π

12

＜x＜kπ+

π

12

，k∈z，
故函數的定義域為（kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

），k∈z．
根據復合函數的單調性，本題即求函數f（x）在定義域內的單調增區間，結合余弦函數的圖象可得，
f（x）在定義域內的單調增區間為[kπ-

5π

12

，kπ-

π

6

），k∈z，
即 函數y=log₂[f（x）-3]的單調增區間為[kπ-

5π

12

，kπ-

π

6

），k∈z．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，復合函數的單調性，余弦函數的單調性，屬于中檔題．