Question

（本小題滿分15分）

  已知橢圓： （）的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．

（1）求橢圓的方程； 

（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點.

    （i）求點的軌跡的方程；

    （ii）若為點的軌跡的過點的兩條相互垂直的弦，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

解：

（1）∵，∴＝＝＝，∴.            （2分）

      ∵直線與圓相切，∴，，∴.

      ∴橢圓的方程是.                                （2分）

（2）（i）∵

         ∴動點到定直線的距離等于它到定點的距離，

         ∴動點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線．

         ∴點的軌跡的方程為：.                                 （4分）

    （ii）由題意可知：直線的斜率存在且不為零，           （1分）

         令：，

         則：

         由韋達定理知：

         由拋物線定義知：

                                    （2分）

         而：

         同樣可得：                        （2分）

         則：

                   （當且僅當時取“”號）

         所以四邊形面積的最小值是：8                             （2分）

 

【解析】略