Question

【題目】已知橢圓的左右頂點分別是，，點在橢圓上，過該橢圓上任意一點P作軸，垂足為Q，點C在的延長線上，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）求動點C的軌跡E的方程；

（3）設直線（C點不同A、B）與直線交于R，D為線段的中點，證明：直線與曲線E相切；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明略；

【解析】

（1）根據頂點坐標可知，將代入橢圓方程可求得，進而得到橢圓方程；（2）設，，可得到，將代入橢圓方程即可得到所求的軌跡方程；（3）設，可得直線方程，進而求得和點坐標；利用向量坐標運算可求得，從而證得結論.

（1）由題意可知：

將代入橢圓方程可得：，解得：

橢圓的方程為：

（2）設，

由軸，可得：，即

將代入橢圓方程得：

動點的軌跡的方程為：

（3）設，則直線方程為：

令，解得：

，

即

直線與曲線相切