【題目】已知定義域為R的奇函數f(x),當x>0時,f(x)=ax2+bx+8(0<a<4),點A(2,0)在函數f(x)的圖象上,且關于x的方程f(x)+1=0有兩個相等的實根.
(1)求函數f(x)解析式;
(2)若x∈[t,t+2](t>0)時,函數f(x)有最小值1,求實數t的值.
【答案】(1)f(x)=(2)
【解析】
(1)定義域為R的奇函數f(x),則f(0)=0,在結合f(﹣x)=﹣f(x)可得x<0的解析式;
(2)根據x∈[t,t+2](t>0)時,可得f(x)=x2﹣6x+8,根據對稱軸討論最小值即可求解t的值.
(1)定義域為R的奇函數f(x),則f(0)=0,
當x>0時,f(x)=ax2+bx+8(0<a<4),點A(2,0)在函數f(x)的圖象上,
∴4a+2b+8=0,即b=﹣2a﹣4……①.
關于x的方程f(x)+1=0有兩個相等的實根.
即ax2+bx+9=0有兩個相等的實根.
那么b2﹣36a=0……②
由①②解得:a=1或a=4(舍去);b=﹣6.
則當x>0時,f(x)=x2﹣6x+8;
當x<0時,﹣x>0,∴f(﹣x)=x2+6x+8=﹣f(x),∴f(x)=﹣x2-6x﹣8
∴函數f(x)解析式f(x);
(2)由x∈[t,t+2](t>0)時,可得f(x)=x2﹣6x+8,
其對稱軸x=3;
當0<t<1時,可得f(x)在區間x∈[t,t+2]上單調遞減,
可得f(x)min=f(t+2)=(t+2)2﹣6(t+2)+8=1
解得:t=1±(舍去),
當1≤t≤3時,可得f(x)在區間x∈[t,t+2]上不單調,可得f(x)min=f(3)≠1;
當t>3時,可得f(x)在區間x∈[t,t+2]上單調遞增,
可得f(x)min=f(t)=t2﹣6t+8=1;
解得:t
∴滿足題意的t
函數f(x)有最小值1,實數t的值為.
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【題目】已知a∈R,f(x)=log2(1+ax).
(1)求f(x2)的值域;
(2)若關于x的方程f(x)-log2[(a-4)x2+(2a-5)x]=0的解集恰有一個元素,求實數a的取值范圍;
(3)當a>0時,對任意的t∈(,+∞),f(x2)在[t,t+1]的最大值與最小值的差不超過4,求a的取值范圍.
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【題目】選修4﹣1:幾何證明選講
如圖,已知四邊形ABCD內接于⊙O,且AB是的⊙O直徑,過點D的⊙O的切線與BA的延長線交于點M.
(1)若MD=6,MB=12,求AB的長;
(2)若AM=AD,求∠DCB的大小.
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【題目】若直線與曲線
滿足下列兩個條件:(
)直線
在點
處與曲線
相切; (
)曲線
在點
附近位于直線
的兩側,則稱直線
在點
處“切過”曲線
.下列命題正確的是__________.(寫出所有正確命題的編號)
①直線在點
處“切過”曲線
;
②直線在點
處“切過”曲線
;
③直線在點
處“切過”曲線
;
④直線在點
處“切過”曲線
.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,四邊形ABCD滿足AB⊥AD,BC∥AD且BC=4,點M為PC的中點,點E為BC邊上的點,且 =λ.
(1)求證:平面ADM⊥平面PBC;
(2)是否存在實數λ,使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值為 ?若存在,求出實數λ的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】設全集U=R,集合A={x|2x-1≥1},B={x|x2-4x-5<0}.
(Ⅰ)求A∩B,(UA)∪(UB);
(Ⅱ)設集合C={x|m+1<x<2m-1},若B∩C=C,求實數m的取值范圍.
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【題目】已知函數f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(Ⅰ)求f(x)的定義域;
(Ⅱ)當x∈(1,+∞)時,f(x)的值域為(0,+∞),且f(2)=lg2,求實數a、b的值.
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