Question

附加題：（本題共6分，附加題的得分直接加入總分，總分最高分不超過150分）
已知函數f（x）=lgsin（cosx）
（1）求y=f（x）的定義域；
（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由；
（3）求y=f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）這里的cosx以它的值充當角，要使sin（cosx）＞0轉化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范圍．
（2）根據奇偶性的定義進行判斷；
（3）根據復合函數單調性的判斷方法判斷：設y=lgu，u=sint，t=cosx，
因為0＜t≤1，所以y═lgu，u=sint都單調遞增，所以y=f（x）的單調性與t=cosx單調性一致，由此即可判斷．

解答：解：（1）由sin（cosx）＞0⇒2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．
又∵-1≤cosx≤1，
∴0＜cosx≤1；
故所求定義域為{x|x∈（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

），k∈Z}．
（2）由（1）知y=f（x）的定義域為（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

）（k∈Z），
關于原點對稱，又f（-x）=f（x），
所以y=f（x）為偶函數．
（3）設y=lgu，u=sint，t=cosx，
因為0＜t≤1，所以y═lgu，u=sint都單調遞增，
故當2kπ-

π

2

＜x≤2kπ時，t=cosx單調遞增，
所以y=f（x）的單調遞增區間為（2kπ-

π

2

，2kπ]（k∈Z），
當2kπ＜x＜2kπ+

π

2

時，t=cosx單調遞減，
所以y=f（x）的單調遞減區間為（2kπ，2kπ+

π

2

）．

點評：本題主要考查了函數的定義域及其求法及復合函數單調性的判斷，求三角函數的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數線．