Question

已知數列的前項和為，且對一切正整數都成立。

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）設，數列的前項和為，當為何值時，最大？并求出 的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）時，取得最大值

【解析】本試題主要是考查了關系式的遞推運用，以及數列單調性的綜合運用。

（1）因為，對與n賦值，然后可知結論。

（2）設，數列的前項和為，分析通項公式的特點可知，數列為等差數列，然后分情況討論得到和式。

解：

（Ⅰ）取，得                 ①    

取，得                              ②

由②①，得                             ③

（1）若，由①知

（2）若，由③知                         ④

由①、④解得，；或

綜上可得，；或；或                        ……………………………5分

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知

當時，有，

所以，即，

所以

令，則

所以數列是單調遞減的等差數列（公差為），從而

 

當時，，

故時，取得最大值，且的最大值為

………………………….12分