Question

【題目】已知函數，．

求函數的單調區間；

當時，若在區間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞減，在，上單調遞增；

當時，函數的單調遞增區間為，無減區間；

當時，函數在上單調遞減，在，上單調遞增；

.

【解析】

先求出的定義域，在求導，根據的范圍得到函數的單調區間；

根據函數的單調性求出函數的最值，再由在區間上恒成立，，得出的取值范圍.

解：的定義域為，

.

當時，，令，解得，則函數在上單調遞增，

令，解得，則函數在上單調遞減.

當時，令，解得，則函數在上單調遞減，

令，解得或，則函數在，上單調遞增.

當時，恒成立，則函數的單調遞增區間為.

當時，，令，解得，則函數在上單調遞減，

令，解得或，則函數在，上單調遞增.

由得當時，函數在區間上單調遞增，

則，故不滿足條件；

當時，由可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

，滿足條件；

當時，由可知，則函數在，上單調遞增，在上單調遞減，

當時，函數有極小值，極小值為.

若極小值為最小值，在區間上恒成立，則，

解得，

若，

則，即.

因為，

所以的取值范圍為.