【題目】如圖，正三棱柱
的所有棱長都為
，
是
的中點，
在
邊上，
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
是側面
內的動點，且
平面
.
①在答題卡中作出點的軌跡，并說明軌跡的形狀（不需要說明理由）；
②求三棱錐
的體積.
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知定點
，點
在
軸上運動，點
在
軸上運動，點
為坐標平面內的動點，且滿足
，
.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）過曲線第一象限上一點
（其中
）作切線交直線
于點
，連結
并延長交直線于點
，求當
面積取最小值時切點
的橫坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，過點
作
的異于
軸的切線
，過點
作的異于軸的切線
.設與交于點
，記的軌跡為
.
（1）求的方程；
（2）已知
，在點處的切線交直線
于點
，過原點
與
平行的直線交
于點
.證明：以
為直徑的圓截
軸的弦長為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知矩形
中，
，E，F分別為
，
的中點.沿
將矩形
折起，使
，如圖所示.設P、Q分別為線段
，
的中點，連接
.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】追求人類與生存環境的和諧發展是中國特色社會主義生態文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數（AQI）的檢測數據，結果統計如表：
AQI |
|
|
|
|
|
|
空氣質量 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天數 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）從空氣質量指數屬于[0，50]，（50，100]的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優的概率；
（2）已知某企業每天因空氣質量造成的經濟損失y（單位：元）與空氣質量指數x的關系式為
，假設該企業所在地7月與8月每天空氣質量為優、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為
.9月每天的空氣質量對應的概率以表中100天的空氣質量的頻率代替.
（i）記該企業9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元，求X的分布列；
（ii）試問該企業7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）.設該蓄水池的底面半徑為
米，高為
米，體積為
立方米.假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為
元（
為圓周率）.該蓄水池的體積最大時
______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在直角梯形
中，E，F分別為
的三等分點，
，
，
，
，若沿著
，
折疊使得點A和點B重合，如圖2所示，連結
，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
（1）求函數
的單調區間；
（2）當
時，判斷函數
，（
）有幾個零點，并證明你的結論；
（3）設函數
，若函數
在
為增函數，求實數
的取值范圍．
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