Question

若關于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，則實數m的取值范圍是

（-∞，-

2 3

3

]

．

Answer 1

分析：關于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，可轉化成不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0恒成立，然后討論二次項系數和判別式可得結論．

解答：解：∵關于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，
∴不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0恒成立
①當m+1=0時，（m+1）x²-mx+m-1≤0，即x≤2，不是對任意x∈R恒成立；
②當m+1≠0時，?x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1≤0，
即m+1＜0且△=（-m）²-4（m+1）（m-1）≤0，
化簡得：3m²≥4，解得m≥

2 3

3

或m≤-

2 3

3

，
∴m≤-

2 3

3

綜上，實數m的取值范圍是m≤-

2 3

3

．
故答案為：（-∞，-

2 3

3

]．

點評：本題主要考查了二次函數恒成立問題，即根據二次函數圖象開口方向和判別式的符號，列出等價條件求出對應的參數的范圍，屬于基礎題．