Question

【題目】已知函數f(x)＝,若對于t∈R，f(t)≤kt恒成立，則實數k的取值范圍是________．

Answer 1

【答案】[，1]

【解析】

本題條件“t∈R，f(t)≤kt”的幾何意義是：在(－∞，＋∞)上，函數y＝f(t)的圖像恒在直線y＝kt的下方，利用數形結合的方法解決本問題．

令y＝x3－2x2＋x，x<1，則y′＝3x2－4x＋1＝(x－1)·(3x－1)，

令y′>0，即(x－1)(3x－1)>0，解得x<或x>1.又因為x<1，所以x<.

令y′<0，得<x<1.

所以y的增區間是(－∞)，減區間是(，1)，所以y極大值＝.

根據圖像變換可作出函數y＝－|x3－2x2＋x|，x<1的圖像．

又設函數y＝lnx(x≥1)的圖像經過原點的切線斜率為k1，切點(x1，lnx1)，

因為y′＝，所以k1＝＝，解得x1＝e，所以k1＝.

函數y＝x3－2x2＋x在原點處的切線斜率k2＝y′x＝0＝1.

因為t∈R，f(t)≤kt，所以根據f(x)的圖像，數形結合可得≤k≤1.