Question

設O為坐標原點，A（1，1），若點B滿足

x2+y2-2x-2y+1≥0 1≤x≤2 1≤y≤2

，則

OB

在

OA

上投影的最小值為（　�。�

• A、2
• B、2

  2

• C、

  2

  2

• D、

  3 2

  2

Answer 1

分析：利用向量的數量積求出目標函數，作出不等式組表示的可行域，作出與目標函數平行的直線，將直線平行由圖知當與圓相切時，z最小．利用圓心到直線的距離等于半徑求出z值．

解答：解：設B（x，y），
畫出

x2+y2-2x-2y+1≥0 1≤x≤2 1≤y≤2

表示的平面區域，如圖所示：

點B為圖中的陰影部分中的任一點，由題意可知：
當B與圖中的M或N重合時，cos∠AOB最小，且|

OB

|也最小，
在△AOM中，|OA|=

1+1

=

2

，|OM|=

1+22

=

5

，|AM|=2-1=1，
則根據余弦定理得：cos∠AOM=

|OM|2+|OA|2-|AM|2

2|OM|•|OA|

=

3 10

10

，
由此時B與M重合得到：cos∠AOB=

3 10

10

，|

OB

|=

5

，
則

OB

在

OA

上投影的最小值為|

OB

|cos∠AOB=

5

×

3 10

10

=

3 2

2

．
故選D

點評：本題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有平面向量射影的定義，不等式組構成的平面區域，勾股定理，以及余弦定理，利用了數形結合的思想，要求學生根據題意畫出相應的圖形，借助圖形找出射影最小值時點B的位置是解本題的關鍵．