Question

已知不等式[log₂n]，其中n為大于2的整數，[log₂n]表示不超過log₂n的最大整數。設數列{a_n}的各項為正，且滿足a₁=b（b＞0），a_n≤，n=2，3，4，…
（Ⅰ）證明a_n＜，n=3，4，5，…
（Ⅱ）猜測數列{a_n}是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；
（Ⅲ）試確定一個正整數N，使得當n＞N時，對任意b＞0，都有a_n＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵當n≥2時，，
∴，即，
于是有，
所有不等式兩邊相加可得，
由已知不等式知，當n≥3時有，，
∵，
∴，。
 （Ⅱ）有極限，且；
（Ⅲ）∵，令，
則有，
故取N=1024，可使當n＞N時，都有。