Question

【題目】已知函數，.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）對任意，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，試求方程的根的個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，根的個數為0；當時，根的個數為1；當時，根的個數為2

【解析】

（1）直接求導得，利用導數的幾何意義即可求出在處的切線方程；

（2）對任意，恒成立，轉化為對任意，恒成立，構造函數，，分類討論和的情況，利用導數研究函數的單調性、最值和解決恒成立問題，即可求出實數的取值范圍；

（3）分類討論的取值范圍，由（2）得，當時，方程的根的個數為0，當時，當時，，得方程的根的個數為1；當時，根據零點存在性定理，即可判斷出方程的根的個數，綜合即可得出結論.

解：（1）∵，則的定義域為，

∴，∴，

∵，則切點為，

∴曲線在處的切線方程是：，

（2）∵對任意，恒成立，

∴對任意，恒成立，

即恒成立，

令，，

則，

①當時，當時，，∴在上單調遞減，

∴，

∴，

②當時，當時，，∴在上單調遞減，

當時，，∴在單調遞增，

∴，

∴，

綜上，實數的取值范圍是.

（3）當時，由（2）得，方程的根的個數為0，

當時，由（2）得，當時，，

∴方程的根的個數為1，

當時，，，

，

根據零點存在性定理，在上至少存在1個零點，

又在上單調遞減，

∴在在上只有1個零點，

，同理，在上只有1個零點，

∴方程的根的個數為2，

綜上，當時，方程的根的個數為0；

當 時，方程的根的個數為1；

當時，方程的根的個數為2.