Question

設函數，.
（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；
（2）求函數的極值點.
（3）設為函數的極小值點，的圖象與軸交于兩點,且，中點為，
求證：．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求,在上恒成立，反解參數,轉化成恒成立問題，利用基本不等式求的最小值問題；
（2）先求函數的導數，因為,所以設,分情況討論在不同情況下，的根，通過來討論，主要分以及的情況，求出導數為0的值，判斷兩側的單調性是否改變，從而確定極值點；
（3）,兩式相減，結合中點坐標公式，,表示出,設出的能表示正負的部分函數，再求導數，利用導數得出單調性，從而確定.
試題解析：（1）
依題意得，在區間上不等式恒成立.
又因為，所以.所以，
所以實數的取值范圍是.                2分
（2），令
①顯然，當時，在上恒成立，這時，此時，函數沒有極值點；          ..3分
②當時，
（�。┊�，即時，在上恒成立，這時，此時，函數沒有極值點；          .4分
（ⅱ）當，即時，
易知，當時，，這時；
當或時，，這時；
所以，當時，是函數的極大值點；是函數的極小值點.
綜上，當時，函數沒有極值點；                    .6分
當時，是函數的極大值點；是函數的極小值點.      8分
（Ⅲ）由已知得兩式相減，
得：       ①
由，得       ②得①代入②，得

=                10分
令且
在上遞減，          12分