Question

如圖，已知A、B、C是長軸為4的橢圓上的三點，點A是長軸的右頂點，BC過橢圓中心O，且，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過C關于y軸對稱的點D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關系？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）A（2，0），
設所求橢圓的方程為：，…（2分）
由橢圓的對稱性知，
|OC|=|OB|，
由．
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C是坐標為（1，1）．…（4分）
∵C點在橢圓上，
∴，
∴．
所求的橢圓方程為．…（8分）
（2）AB與DE是平行關系…（10分）
D（-1，1），
設所求切線方程為y-1=k（x+1），
…（12分）
上述方程中判別式
又，
所以AB與DE平行…（14分）
分析：（1）設所求橢圓的方程為：，由橢圓的對稱性知，|OC|=|OB|，由．|BC|=2|AC|，|OC|=|AC|，知△AOC是等腰直角三角形，由此能夠求出橢圓方程．
（2）設所求切線方程為y-1=k（x+1），由，由判別式等于0，能判斷AB與DE平行．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，直線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．易錯點是綜合性強，難度大，容易出錯．