Question

【題目】已知函數，對任意的，滿足，其中為常數．

（Ⅰ）若,求在處的切線方程；

（Ⅱ）已知,求證；

（Ⅲ）當存在三個不同的零點時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）代入，然后求出函數在處的切線方程

（Ⅱ）寫出的表達式，令，根據的取值范圍，得到的單調性，即可得證

（Ⅲ）對求導，討論在不同的的取值范圍下的單調性，進而討論其零點的個數，即可求出存在三個不同零點時的取值范圍。

（Ⅰ）在中，取，得，

又,所以.

從而，

,，

又切點為，所以切線方程為.

（Ⅱ）證明：

令，

則

所以，時，，單調遞減，

故時，

所以時，

（Ⅲ）

①當時，在(0，＋∞)上，，遞增，

所以，至多有一個零點，不合題意；

②當時，在(0，＋∞)上，，遞減，

所以，也至多有一個零點，不合題意；

③當時，令，

解得

此時，在上遞減，上遞增，上遞減，

所以，至多有三個零點．

因為在上遞增，所以.

又因為，所以，使得

又，

所以恰有三個不同的零點：.

綜上所述，當存在三個不同的零點時，的取值范圍是.